Psychedelia.dk

Derfor jeg satte praktisk i anførelsestegn, mener bare, selvom der er et uendeligt antal af 9 taller efter 0.9 vil det jo ALDRIG blive det samme som 1, som du også sagde før lige meget hvornår man stopper talrækken vil det altid være under 1, men at man aldrig stopper, gør det ikke til det samme som 1, det er det aldrig, det vil det aldrig blive, men forskellen er uendelig lille.

Jo.

Prøv at læse artiklen igen.
Der er et afsnit der hedder "Skepticism in education" hvor der bliver forklaret hvilke fejlagtige opfattelser af tallenes egenskaber der gør, at man ikke vil acceptere ligheden.

Prøv evt. også at læse lidt om Dedekind-snit - så får du en større forståelse af tal.

At modsige at 0,999... = 1 svarer til at nægte at acceptere tyngdeloven. Du argumenterer MOD hele videnskaben.

Okay... Det troede jeg var en prik over det sidste decimal, som betød det...

Et punkt er jo også bare en linje der ikke kan deles

0.999~ vs 1 den er meget go'

Forskellen er Uendelig lille, som BisMann si'r. Men hvis den er Uendelig lille, eksisterer den så?

Lige meget hvor lille en størrelse man tænker på, så er forskellen mellem 0.999~ og 1 mindre end det.

I praksis, hvis universet består af en endelig mængde masse, vil der dog være et sidste 9 tal i rækken (tallet ville så iøvrigt ikke længere være 0.999~ men 0.9^n'te (hvor n er et endeligt tal)), og så vil forskellen ikke længere være Uendelig lille, og dermed ville der være forskel.

Nu er jeg ikke selv særligt hjemme i teoretisk matematik, så om man i dén logik-form definerer en Uendelig lille forskel som eksisterende eller ej, ved jeg ikke.
Rent personligt ville jeg dog mene at hvis en genstand eksisterer som Uendelig lille, dvs _større_ end ingen-ting, så må den tælle med som en forskel.

Prøv nu at læse lidt om hvordan man definerer de reelle tal - enten vha. Dedekind-snit eller vha. Cauchy-følger.

Og drop så den fucking snak om "i praksis" - det er ikke muligt at diskutere tal og matematik "i praksis"!
Matematikerne bruger jo ikke argumenter fra den fysiske virkelighed til at understøtte teorierne.

Det ville være absurd at sige "den retvinklede trekant findes ikke, da der i praksis ikke findes nogen 100% retvinklet trekant i den fysiske virkelighed". Og dermed påstå, at trekanter godt kan være "næsten-retvinklede", men aldrig fuldstændig retvinklede.
Trekanten KAN godt være fuldstændig retvinklet som begreb (matematisk/teoretisk) selvom man ikke kan finde en ting i den fysiske virkelighed der svarer til den.

Kan man ikke? Er det ikke et filosofisk standpunkt at tallene ikke findes ude i 'den virkelige verden'?

Jeg synes i så fald at det er et ret ukontroversielt og evident sandt standpunkt.

Jeg tror at de fleste fornuftige mennesker vil give mig ret i følgende påstande:

Der findes ikke tal i den fysiske virkelighed - kun ting der kan tælles.

Der er forskel på begreberne og det vi bruger dem på.

Hehe, dybest set er jeg skam også enig :-) Men om det er evident sandt, ved jeg nu ikke. Man kan sagtens argumentere for platonisme i matematikken, efter min mening. Uanset, så synes jeg stadig der er langt fra at have en ikke platonisk opfattelse af tallene, og så til at sige at man ikke kan diskutere deres (og andre matematiske objekters) beskaffenhed. Alt bygger jo på nogle antagelser.

Ja. Men der er sgu stor forskel på platonisme (der hævder noget i stil med at "tallene eksisterer som uafhængige entiteter") og så at hævde, at tallene eksisterer i den fysiske virkelighed.

Der har så vidt jeg ved endnu ikke været nogen matematiske videnskabsteoretikere (der var bare nogenlunde respekterede/kendte) der hævdede, at tal eksisterede som fysiske objekter. Og det er fuldstændig tåbeligt at prøve at argumentere for det (prøv...).
Og det er DERFOR det er spild af tid at bruge argumenter omkring den fysiske virkelighed i en diskussion om matematik.

Ka' du så forstå det, Marianne!!!

Hahaha ja okay. Det skrev du godt nok min fejl, for da jeg skrev 'den virkelige verden' mente jeg selvfølgelig den platoniske virkelige verden. Hence de to '' jeg brugte. Troede du mente det i en art platonisk forstand, især fordi du nævnte det i et modsvar til en hvor jeg ikke så nogen henvisning til dette absurde standpunkt, og du selv skrev situationstegn. Tror ikke der er nogen i denne tråd der mener at f.eks. tallet 9 findes i en hule på nordpolen, suk. Hvis du tror der er det, så skal du måske lige høre om ikke du/de misforstår inden du giver los? ;-) BisMann skrev jo også praksis i de selv samme ''. Men for at vende tilbage til den mere seriøse del, så skrev du jo stadig
Nu ved jeg _IKKE_ hvad du mener med 'rent praktisk', men jeg mener at mange konstruktioner har en forankring i noget intution/'praksis', som man kan tilskrive _NOGET_ virkelighed, og derfor kan man vel også diskutere de forudsætninger hvorfra egenskaberne ved vores matematiske objekter oprinder.

Mvh.

Ok det citat du hiver frem var måske lidt overilet. Jeg er ikke matematisk platonist, men det var at skyde over målet at angribe det standpunkt.

Hvis du læser hvad JEL skriver, vil du se, at han forsøger at bruge argumenter omkring fysiske ting (universets størrelse) til at argumentere i en diskussion om matematik.

Og hvis du læser Bismanns indlæg vil du se, at han opfatter decimalrækken som noget der "udvikler sig i tid/rum". Dette er en forkert opfattelse af tallene - at "decimalerne må jo stoppe på et eller andet sted/tidspunkt" - og det er (så vidt jeg kan se) anledning til at han ikke vil anerkende ligheden 0,999... = 1.

Mine indvendinger kan koges ned til: Man kan ikke bruge argumenter om den fysiske virkeligheds beskaffenhed i en matematisk diskussion.

Det er jeg helt enig i
Tal uden decimaler er 'perfekte' (dvs Umuligheder i den fysiske verden).

Alt det har jeg ikke noget problem med, men hvis logikken i matematisk teori side-stiller en _Uendelig lille andel_ med _ingen andel_, så må jeg være Uenig.

La' os breake den op stykvis engang:

Postulatet er at 1 og 0.999~ er det samme.

Ok, godt så, la' os lige gøre den forståelig først ved at se på ikke-decimal tallene:

Forskellen mellem 1 og 0.999 er 0.001

Så sætter vi et evigheds-tegn bag 0.999 så det bli'r 0.9~ (dvs en Uendelig række af 9-taller)

Forskellen mellem 1 og 0.9~ vil herefter helt konkret være: 0.0~1 (dvs 0, og så et punktum, og så et Uendeligt antal nuller efterfulgt af et 1-tal.)

Ideen om at 1 og 0.9~ derfor må være det samme, kommer af at 1-tallet er Umuligt at nå frem til, da rækken af nuller jo er Uendelig. Dvs man vil ha' 0.0 i al Uendelighed, med et 1-tal der hele tiden udskydes i al Uendelighed (man når aldrig frem til det).

Dvs forskellen mellem 1 og 0.9~ derfor siges at være 0 eller 0.0~ (fordi et 1-tal man aldrig når frem til jo må være betydnings-løst rent matematisk, og derfor at side-stille med nul)

Men det er altså ikke korrekt matematik.
Den korrekte måde at stille det op på vil altid være 0.0~1

Når man fjerner 1-tallet bare fordi rækken af nuller er Uendelig, så begår man den fejl at man tænker på tallet som endeligt (ja det lyder måske forkert, men følg den engang): Uendeligheden _fjerner_ ikke noget, den _udskyder_ kun (i al Uendelighed).

Dét _er_ en forskel. Derfor _skal_ 1-tallet med før opstillingen er matematisk korrekt. At der er et Uendeligt antal nuller foran 1-tallet _fjerner_ ikke 1-tallet (jo i praksis men ikke i den abstrakte teori)

Og hvis en matematiker ikke er enig i det jeg si'r her, så ta'r matematikeren, påstår jeg i al ydmyghed, fejl

Man udskyder i al evighed den lille del der ska' svinge 0.9~ op til det hele tal 1. Men man _fjerner_ ikke delen. Man _udskyder_ den kun.

Man udskyder hele tiden det 1-tal der ska' gøre 0.0~ til _mere_ end nul, men man _fjerner_ ikke 1-tallet. Man _udskyder_ det kun.

Der _er_ forskel på at fjerne (dvs totalt anullere, altså et 'full stop') og på at udskyde i al Uendelighed (dvs _ikke_ anullere, _ikke_ et 'full stop', men istedet _forsinke_, _forhale_, gemme til _senere_)

Det er en fejl at sige at bare fordi rækken er Uendelig så har tallene længere ude i rækken ingen betydning, og at man derfor ka' smide dem væk som irrelevante.
De har bare en Uendelig lille betydning, men det er stadig _mere_ end ingen betydning.
Så forskellen mellem 1 og 0.9~ _må_ være Uendelig lille (dvs _ikke_ ingenting)

Uendelig lille er _ikke_ det samme som ingenting.

Capiche?

Fra http://en.wikipedia.org/wiki/0.999... :

"two real numbers are identical if and only if their difference is equal to zero. The difference between 1 and 0.999… is less than any given positive value; this can be formally demonstrated using a closed interval defined by the above sequence and the triangle inequality. Thus the difference is 0 and the numbers are identical."

- Pointen er, at hvis jeg beder dig angive forskellen på 0,999... og 1 og du siger et tal, vil jeg altid kunne vise, at forskellen er mindre end dette tal. Og dermed er forskellen "(numerisk) mindre end alle tal", dvs. 0.

"Some students regard 0.999… as having a fixed value which is less than 1 by an infinitely small amount."

- Dette er en forkert opfattelse af de reelle tal.

Jeg får lyst til at spørge dem der mener, at "decimalræken (af 9-taller) skal jo stoppe på et tidspunkt":
Hvad så med irationelle tal som "kvadratrod 2", "pi" osv.? Skal deres decimal-række også "stoppe på et tidspunkt"? Så er de jo NETOP ikke "kvadratrod 2" eller "pi".

Hvis man tror, at decimalrækkerne "skal stoppe et sted", så forstår man ikke hvad de reelle tal er.

Sådan er jeg enig i man ka' tolke forskellen (at den er mindre end ethvert muligt selvstændigt tal)

Men hvorfor det så er ens-betydende med at tallet så er det samme som nul, ka' jeg ikke se den matematiske logik i.

Jeg ka' se den _praktiske_ logik i at en værdi der til evighed udskydes intet er værd, og derfor ka' kaldes nul, men i teorien's logik ka' jeg ikke se noget i vejen for at man istedet for at kalde forskellen for nul, kalder den for 0.0~1 (altså en evig udskydelse af det selvstændige tal)

Det virker for mig mere logisk at man beholder 1-tallet, da det jo er der inden man går i Uendelighed, og blot tilfører evigheds-tegnet til begge sider af ligningen.
Kun at ha' evigheds-tegnet på den ene side (0.999~ siden), virker på mig som en fejl rent logisk (da en ligning jo ska' balancere), da man dermed tillægger dén side af ligningen nogen egenskaber man ikke tillægger den anden side af ligningen. Man gør 0.9 siden Uendelig (man tillægger den en egenskab af Uendelighed), mens den anden side bli'r reduceret til nul (ingenting. Altså en egenskab af _endelighed_), og det mener jeg er en fejl i selve logikken. Begge sidder er enten Uendelige eller endelige, hvis deres samlede sum ska' være deres helt egen Uforstyrrede sum, vil jeg holde fast i er det mest logiske

For mig vil nul altid være mindre, end selv det mindste der er _mere_ end nul. Og selvom forskellen er mindre end ethvert muligt selvstændigt tal, vil det jo stadig være _mere_ end nul. Det selvstændige tal eksisterer rent teoretisk, men er bare Uendeligt lille. Skubbet bag-ud af en Uendelig række nuller, men _ikke_ fjernet fra ligningen selvom det i praksis er Uopnåeligt pga sin Uendelighed. Nul er ikke Uendeligt lille, det er istedet ingenting. Ingenting og Uendeligt lille er for mig at se 2 forskellige begreber.

Også selvom man ka' postulere at; et tal der er "mindre end alle tal" kun ka' være nul, vil jeg mere mene at det tal, der er mindre end alle tal, istedet er en Uendelig lille smule _mere_ end nul. Og derfor _ikke_ det samme som nul (heller ikke selvom forskellen er Uendelig lille). Selvom tallet kun er Uendeligt lille, så er det stadig _større_ end ingenting.

Men under alle omstændigheder er det ihvertfald i pernittengryn-størrelsen at diskutere dette teoretiske tal's værdi, for ethvert regnestykke ka' jo kun udregnes i praksis og så forsvinder hele problemet jo automatisk

Uendelige summer kan godt konvergere. Så der er intet "teoretisk problem" i, at summen 9*10^-1 + 9*10^-2 + 9*10^-3 + .... 9*10^-n er lig tallet 1.
(altså at 0,9 + 0,09 + 0,009 + ... + = 0,999... = 1)

Faktisk giver "formlen for geometriske rækker", at summen af (9/10)*^(1/10)^0 + (9/10)*(1/10)^1 + (9/10)*(1/10)^2 + (9/10)*(1/10)^3 + ... + (9/10)*(1/10)^n = (9/10)/(1-(1/10)) = (9/10)/(9/10) = 1.

Du kan finde beviset for denne formel hér: http://en.wikipedia.org/wiki/Geometric_series

Det er standard-viden i matematisk analyse, at "uendelige summer" (kaldet "rækker") både kan konvergere og divergere. Og at man kan finde summen (beskrevet i relle tal) af dem, hvis de konvergerer.

EDIT: Har rettet udregningen i "formlen for geometriske rækker", da der havde indsneget sig en skrivefejl.

JEL: Mener du så også, at "der findes en uendelig lille forskel" på 0,33... og 1/3?

Jeg er ikke så skolet i det matematiske at jeg ka' gennemskue den formel du lister her (efter den anden parantes... er det en opløftning i nul'te potens?), så den ka' jeg ikke rigtigt forholde mig til.



Jeg anfægter ikke at gængs vestlig matematik har den slags regler som du nævner her (at tillade svingninger i tal-værdier).

Jeg argumenterer udelukkende for hvorfor jeg ikke selv ka' se logikken i at man tillader tal at svinge samtidig med at man kalder dem reelle tal.

For mig at se ka' et tal, hvis værdi ikke ka' endeligt fast-slåes, heller ikke defineres som reelt.
Såvidt jeg forstår er reelle tal _endelige_ tal (dvs 0.333 feks, men ikke 0.3~), så derfor har jeg svært ved at se det logiske i at omforme et Uendeligt tal til et endeligt tal, og så stadig fastholde at værdien sku' være Uforandret. Evigheds-tegnet mister jo sin værdi/funktion hvis man anta'r den logik?

Hvis værdien var den samme, ville det Uendelige tal jo pludselig være _magen_ til det endelige tal, og hvis det er det; hvorfor er det ene så endeligt og det andet Uendeligt?




Nice one

Kort svar; ja.

Længere svar;
1 lag-kage delt i 3 præcis lige store stykker gi'r 3/3, hvor hvert stykke så er 1/3. Tilsammen gi'r de 3 tredje-dele et _helt_ og dermed 'perfekt' tal.
3 * 1/3 = 1 (ingen decimaler eller andet evigt vedhæng. Just a clean cut number. smukt. stykkerne af kagen er helt ens ud i det perfekte. Der er ikke så meget som den mindst mulige grad af forskel på stykkerne. De er utopisk ens. Dvs helt og aldeles totalt perfekt)

Et regne-stykke hvor en variabel ikke ka' afsluttes, fordi den's indhold er Uendeligt (som feks 0.3~, det tætteste vi kommer på 1/3 med decimal-tal), er _Upræcist_. Den er til evig tid _Unøjagtig_ (omend Unøjagtigheden er Uendelig lille, så _er_ den stadig Unøjagtig, og dermed _ikke_ perfekt)

0.3~ er en Uendelig lille smule _mindre_ end 1/3.
Dvs hvis vi deler kagen i 3 stykker på hver 0.3~, så har vi en Uendelig lille smule der stadig er i overskud. Det Uendelige lille stykke skyldes decimal-tallenes Uendeligt lille Unøjagtighed. Deres Uendeligt lille, men dog eksisterende (og dermed _mere_ end ingenting), Uperfekthed.

Med decimal-tallene ka' man sige; der mangler hele tiden Uendelig lidt for at nå det totale (det hele og 'perfekte' 1 nåes aldrig, 'kun' 0.9~ (som er det tætteste man ka' komme på 1 uden reelt at _være_ 1. Og iøvrigt også ved de 3 * 0.3~. Det gi'r ikke 1, men 0.9~))

Forskellen ligger netop i det med at det ene tal er endeligt (1/3) og det andet Uendeligt (0.3~). Endelige tal er kvantiserede og digitale i sin natur ('perfekte'), mens de Uendelige istedet er analoge og diffuse ('Uperfekte') i deres natur (såvidt man da ka' tale om tal's natur ). Så de ka' slet ikke rumme samme præcision, og derfor må der nødvendigvis altid og til evighed være en forskel på 0.3~ og 1/3 (og på 0.9~ og 1)
Evigheds-tegnet er symbolet på forskellen. Det _skal_ være der hvis regne-stykket ska' være neutralt.

Et Uendeligt tal er ikke et reelt tal, og det må derfor altid være forkert at beskrive et Uendeligt tal med et endeligt tal.
0.9~ er tilnærmelsesvis 1, men ikke præcis 1 (dvs 'Uperfekt'). Og hvis det ikke er præcis 1 (dvs 'perfekt'), så _må_ der være forskel (den Uendeligt lille forskel der lige præcis definerer forskellen mellem det 'perfekte' og 'Uperfekte')

Jeg vil godt lige sige at jeg sagten's ka' se rationalet i at side-stille 0.9~ med 1, eftersom forskellen jo netop er så lille at det ville ta' en evighed at definere den (hvilket jo ville låse ethvert regne-stykke fast i en slags møbius-løkke)
Men det er jo så kun relevant i praksis, og nu er det jo kun teorien vi taler om her.

Så jeg vil fortsat tillade mig, når vi altså snakker de rent teoretiske tal, at være Uenig i at 0.9~ og 1 er det samme

Ok - problemet skyldes, at du ikke ved, hvad et "reelt tal" er, og at du ikke forstår, at man godt kan "endeligt fastslå" værdien af en sum med uendeligt mange led.

Mængden af reelle tal indeholder de rationelle tal, som kan repræsenteres som brøkfremstillinger, dvs. som "afsluttede decimal-rækker". Eksempler kunne være 0, 1, , -1, 1,5 (=3/2), 0,3333 (= 3333/10000) osv.
Mængden af reelle tal indeholder OGSÅ de irationelle tal, dvs. tal der IKKE kan repræsenteres som brøker, og dermed heller ikke kan repræsenteres som afsluttede decimalfremstillinger. Eksempler på disse tal er "kvadratrod 2" og "pi".

Som jeg allerede HAR skrevet, så fatter jeg ikke, at folk synes det er helt umuligt at 0,999... kan have en uendelig decimal-fremstilling, men ikke at decimal-fremstillingerne for "kvadratrod 2" og "pi" er uendelige. (eller også har folk måske bare ikke fattet det sidste?)

Og rækker (summer med uendeligt mange led) kan GODT have en "fast" sum. Det har man regnet med siden middelalderen, og det virker.

Det kan godt være, at du ikke forstår den ovenstående udregning hvor jeg bruger "formlen for geometriske rækker" til at vise, at 0,9 + 0,09 + 0,009 + ... = 1.
MEN udregningen er korrekt, og det samme er beviset for formlen.

Engang blev en af mine matematiklærere efter at have bevist en meget lang og indviklet sætning spurgt af en elev "Jeg kan ikke se hvorfor det er sandt. Kan du ikke prøve at forklare det" og han sagde bare "Det er sandt, fordi jeg lige har bevist det".
Det syntes jeg var et utroligt smukt svar - i stedet for at prøve at appelere til elevens intuition (det giver mening, fordi bla bla bla), fik han eleven til at forstå, at sålænge resultatet var blevet bevist vha. logisk stringente metoder, så måtte man bare acceptere sandheden og holde kæft.